3.3
Limit di Tak-Hingga

Definisi 3.3.1.
Jika nilai-nilai $f(x)$ menjadi sedekat mungkin ke suatu bilangan $L$ saat $x\to +\infty$, maka dapat dituliskan $$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=L\quad \text{atau}\quad f(x)\to L\quad\text{untuk}\quad x\to+\infty.$$ Sedangkan jika nilai-nilai $f(x)$ menjadi sedekat mungkin ke suatu bilangan $L$ saat $x\to -\infty$, maka dapat dituliskan $$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=L\quad \text{atau}\quad f(x)\to L\quad\text{untuk}\quad x\to-\infty.$$
Sifat-sifat limit pada subbab $3.2$ juga berlaku untuk limit tak hingga, baik itu di $-\infty$ maupun di $+\infty$.
  1. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}k=\lim_{x\to +\infty}k=k$.
  2. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}kf(x)=k\lim_{x\to -\infty}f(x)$ dan $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}kf(x)=k\lim_{x\to +\infty}f(x)$ asalkan limit $f(x)$ ada.
  3. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}(f(x))^n=\left(\lim_{x\to -\infty}f(x)\right)^n$ dan $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(f(x))^n=\left(\lim_{x\to +\infty}f(x)\right)^n$ untuk $n$ bilangan bulat positif.

(LIMIT TAK-HINGGA DI TAK-HINGGA)

Jika nilai-nilai $f(x)$ naik tanpa batas saat $x\to-\infty$ atau saat $x\to+\infty$, maka dapat ditulis $$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\quad \text{dan}\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,$$ dan jika nilai-nilai $f(x)$ turun tanpa batas saat $x\to-\infty$ atau saat $x\to+\infty$, maka dapat ditulis $$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\quad \text{dan}\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.$$
Catatan Penting:
  1. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$
  2. $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty,\quad n=1,2,3,\dots$ dan $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^n=\begin{cases} -\infty,\quad n\quad \text{ganjil}\\ +\infty,\quad n\quad \text{genap} \end{cases}$

(Limit Tak-Hingga untuk Fungsi Polinomial)

Jika $a_n\neq0$, maka $$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}(a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n)=\lim_{x\to-\infty}a_nx^n,$$ dan $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n)=\lim_{x\to+\infty}a_nx^n.$$

(Limit Tak-Hingga untuk Fungsi Rasional)

Jika $a_n\neq0$ dan $b_m\neq0$, maka $$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n}{b_0+b_1x+b_2x^2+\dots+b_mx^m}=\lim_{x\to -\infty}\frac{a_nx^n}{b_mx^m},$$ dan $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n}{b_0+b_1x+b_2x^2+\dots+b_mx^m}=\lim_{x\to +\infty}\frac{a_nx^n}{b_mx^m}.$$

(Limit Tak-Hingga untuk Fungsi yang Memuat Akar)

Untuk fungsi yang memuat akar, perhitungan limit dilakukan dengan manipulasi aljabar untuk memperoleh bentuk-bentuk dasar limit.
Contoh 1
Hitung $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(1-2x+3x^3-5x^5)$.
Pembahasan
\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(1-2x+3x^3-5x^5)&=\lim_{x\to-\infty}(-5x^5)\\ &=-5\lim_{x\to-\infty}x^5 \end{align*} Di sini pangkatnya adalah $5$ yang merupakan bilangan ganjil sehingga $$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(1-2x+3x^3-5x^5)=-5(-\infty)=+\infty.$$
Contoh 2 (ETS 2019/2020)
Tentukan nilai $$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-3}.$$
Pembahasan
Untuk fungsi yang memuat akar, perhitungan limit dilakukan dengan manipulasi aljabar untuk memperoleh bentuk-bentuk dasar limit. Ingat bahwa $|x|=\sqrt{x^2}$. Manipulasi aljabar dilakukan dengan membagi penyebut dan pembilang dengan $|x|$. \begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-3}&=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|}}{\frac{2x-3}{|x|}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}}{\frac{2x-3}{|x|}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}{\frac{2x-3}{|x|}} \end{align*} Berdasarkan definisi nilai mutlak $\displaystyle |x|=\begin{cases} x,\quad x\geq0\\ -x,\quad x<0 \end{cases}$, $|x|$ dapat disubstitusi dengan $-x$. \begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-3}&=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}{\frac{2x-3}{-x}}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{-2+\frac{3}{x}}\\ &=\frac{\sqrt{1+0}}{-2+0}\\ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-3}&=-\frac{1}{2} \end{align*}
Contoh 3 (ETS 2021/2022)
Hitung $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4-x}{4+6x^2}$.
Pembahasan
\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4-x}{4+6x^2}&=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{6x^2}\\ &=\lim_{x\to-\infty}\frac{-1}{6x}\\ &=-\frac{1}{6}\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}\\ &=-\frac{1}{6}(0)\\ &=0 \end{align*}
Latihan!
Kuis 2022
Dapatkan $\displaystyle \lim_{x\to\infty^-}\sqrt[3]{\frac{8x^7-7x^6-6x^5}{1-2x^3-x^7}}$.
Jawab:
ETS 2024
Hitunglah $\displaystyle \lim_{y\to-\infty}\frac{2-y}{\sqrt{7+4y^2}}$.
Jawab:
ETS 2024
Dapatkan nilai dari $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{3x^2+4x^4}}{\sqrt{x^4-x^2}}$
Jawab: